If the base of a triangle is increased by 25% and its height is decreased by 20%, what will be the effect on its area?

বিস্তারিত সমাধান:

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো:

ক্ষেত্রফল \(A = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}\)

ধরি, ত্রিভুজের প্রাথমিক ভূমি = \(b\) এবং প্রাথমিক উচ্চতা = \(h\)।

সুতরাং, প্রাথমিক ক্ষেত্রফল \(A_1 = \frac{1}{2}bh\)।

১. ভূমি 25% বৃদ্ধি করা হলে, নতুন ভূমি হবে:

নতুন ভূমি \(b' = b + 25\%\) of \(b\)

\(b' = b + \frac{25}{100}b = b + 0.25b = 1.25b\)

২. উচ্চতা 20% হ্রাস করা হলে, নতুন উচ্চতা হবে:

নতুন উচ্চতা \(h' = h - 20\%\) of \(h\)

\(h' = h - \frac{20}{100}h = h - 0.20h = 0.80h\)

৩. নতুন ভূমি (\(b'\)) এবং উচ্চতা (\(h'\)) ব্যবহার করে ত্রিভুজের নতুন ক্ষেত্রফল গণনা করা যাক:

নতুন ক্ষেত্রফল \(A_2 = \frac{1}{2}b'h'\)

\(A_2 = \frac{1}{2}(1.25b)(0.80h)\)

\(A_2 = \frac{1}{2}(1.25 \times 0.80)bh\)

আমরা জানি, \(1.25 \times 0.80 = 1\)।

সুতরাং, \(A_2 = \frac{1}{2}(1)bh = \frac{1}{2}bh\)

৪. ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন তুলনা:

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, নতুন ক্ষেত্রফল \(A_2 = \frac{1}{2}bh\) এবং প্রাথমিক ক্ষেত্রফল \(A_1 = \frac{1}{2}bh\)।

অর্থাৎ, \(A_2 = A_1\)।

৫. ক্ষেত্রফলের শতকরা পরিবর্তন:

শতকরা পরিবর্তন = \(\frac{\text{নতুন ক্ষেত্রফল} - \text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}}{\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}} \times 100\%\)

শতকরা পরিবর্তন = \(\frac{A_2 - A_1}{A_1} \times 100\%\)

শতকরা পরিবর্তন = \(\frac{A_1 - A_1}{A_1} \times 100\%\)

শতকরা পরিবর্তন = \(\frac{0}{A_1} \times 100\%\)

শতকরা পরিবর্তন = \(0\%\)

অতএব, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের কোনো পরিবর্তন হবে না।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

এই ধরনের সমস্যায়, শতকরা পরিবর্তনের গুণক (multiplicative factor) ব্যবহার করে দ্রুত সমাধান করা যায়:

১. ভূমির 25% বৃদ্ধি মানে গুণক হবে: \(1 + \frac{25}{100} = 1 + 0.25 = 1.25\)

২. উচ্চতার 20% হ্রাস মানে গুণক হবে: \(1 - \frac{20}{100} = 1 - 0.20 = 0.80\)

ক্ষেত্রফলের সামগ্রিক পরিবর্তন গুণক হবে এই গুণকগুলির গুণফল:

সামগ্রিক গুণক = \(1.25 \times 0.80 = 1\)

যেহেতু সামগ্রিক গুণক 1, এর অর্থ ক্ষেত্রফলের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

যদি গুণক 1 এর বেশি হতো (যেমন 1.10), তবে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেত। যদি 1 এর কম হতো (যেমন 0.90), তবে ক্ষেত্রফল হ্রাস পেত।